Со школы нам знакомы биквадратные и возвратные уравнения. Чт
На первый взгляд кажется, что приемы решения уравнений определенного вида — это просто искусственные ухищрения, работающие только на каком-то определенном уравнении (или на уравнениях определенного вида). Но, как оказалось, все это — следствия симметрии.
Два школьных рецепта.
(1) Для начала вспомним, как выглядит биквадратное уравнение:
x⁴ — 4 x² + 3 = 0.
Биквадратное оно, потому что x в него входит как «квадрат» и как «квадрат в квадрате» — т. е. в виде четвертой степени. Рецепт решения прост. Делаем замену переменной:
x² = y ≥ 0,
тогда уравнение отн-но y оказывается квадратным:
y² — 4 y + 3 = 0,
и легко решается.
(2) Теперь посмотрим на пример возвратного уравнения:
x⁴ — 4 x³ + 5 x² — 4 x + 1 = 0.
Название «возвратное» отражет то, что последовательность коэффицентов этого уравнения одинаково читается слева-направо и справа-налево. Рецепт его решения — замена:
y = x + (1 / x), x ≠ 0.
Чтобы произвести эту замену, не выражая x через y, можно, например, сгруппировать «симметрично входящие» слагаемые:
(x⁴ + 1) — 4 x (x² + 1) + 5 x² = 0,
поделить все уравнение на x²:
(x²+ [1 / x²]) — 4 (x + [1 / x]) + 5 = 0,
в первых круглых скобках достроить полный квадрат:
(x²+ 2 + [1 / x²]) — 4 (x + [1 / x]) + 3 = 0,
свернуть его:
(x + [1 / x])² — 4 (x + [1 / x]) + 3 = 0,
и получится квадратное уравнение отн-но y:
y² — 4 y + 3 = 0.
Общее между рецептами.
Попробуем посмотреть на произошедшее под другим углом.
(1) Вовращаемся к биквадратному уравнению:
x⁴ — 4 x² + 3 = 0.
Заметим, что, если сделать замену:
x = -z,
то уравнение примет вид:
(-z)⁴ — 4 (-z)² + 3 = 0,
четные степени «сожрут» минусы, и получим:
z⁴ — 4 z² + 3 = 0,
Мы произвели некоторую замену, а уравнение не изменилось. В качестве новой переменной мы выбирали величину:
y = x²,
и эта замена упрощает нам уравнение. Давайте посмотрим, что сделает замена x на z с этой величиной:
y = x² = (-z)² = z².
То есть величина y, упрощающая нам уравнение, сама не «испортилась» при замене, которая не «портит» уравнение.
(2) Попробуем теперь отловить подобное и на возвратном уравнении.
x⁴ — 4 x³ + 5 x² — 4 x + 1 = 0.
Делаем замену:
x = 1 / z,
и уравнение принимает вид:
(1 / z)⁴ — 4 (1 / z)³ + 5 (1 / z)² — 4 (1 / z) + 1 = 0,
если теперь умножить уравнение на z⁴, получим исходное уравнение, но отн-но z:
z⁴ — 4 z³ + 5 z² — 4 z + 1 = 0.
То есть мы снова произвели некоторую замену, а уравнение не изменилось. Посмотрим, что будет с величиной y, которую мы брали в качестве новой переменной, при замене x на z:
y = x + (1 / x) = (1 / z) + z.
Снова величина y, упрощающая уравнение, сама не изменилась при замене, не меняющей уравнение.
Центральная идея.
Общая идея должна уже быть видна. Мы делаем над уравнением некоторое преобразование, а уравнение от этого не изменяется. Такое преобразование называется симметрией для данного уравнения (или говорят: уравнение симметрично отн-но данной замены переменных). Идея заключается в том, чтобы «учесть» симметрию уравнения. Если в качестве новой переменной выбрать величину, которая тоже симметрична отн-но того же самого преобразования, то уравнение упростится.
Рассмотрим пример с менее очевидной симметрией:
x⁴ — 2 x³ — 7 x² + 8 x + 12 = 0.
Симметрию тут заметить несколько сложнее, чем в предыдущих примерах, для этого нужно либо начать подбирать ее, либо ее можно увидеть через исследование функции, задающей левую часть уравнения, либо, как говорится: «найти методом пристального всматривания» (хотя… это уравнение вообще легко решается школьными методами, т. к. все его решения — целые, и потому являются делителем свободного члена). Выглядит симметрия этого уравнения вот так:
x = 1 — z.
Если подставить такой x в уравнение, раксрыть все скобки, причесать и упростить леую часть, получится уравнение:
z⁴ — 2 z³ — 7 z² + 8 z + 12 = 0.
Дальше общая идея ведет нас к выдумыванию некоего выражения, которое не пострадает при такой замене переменных. Обычно это элемент творчества и требует фантазии, но в данном случае я просто выдам эту тайну:
y = x (x — 1).
Можно убедиться, что под действием замены x на z эта величина не изменит свой вид:
y = x (x — 1) = (1 — z) (1 — z — 1) = — z (1 — z) = z (z — 1).
Осталось придумать, как безболезненно произвести эту замену, не выражая x через y. В уравнение входит слагаемое x⁴, которое могло бы взяться из y². Посмотрим, как выглдитy²:
y² = x⁴ — 2 x³ + x.
Можно в уравнении выделить y² в отдельные скобки, тогда получится:
(x⁴- 2 x³ + x) — 8 x² + 8 x + 12 = 0.
В оставшемся вне скобок куске оказались слагаемые, которые хорошо компануются в выражение для y (и это не удача, это закономерность):
(x [x — 1])² — 8 x (x — 1) + 12 = 0,
теперь можем записать уравнение через новую переменную:
y² — 8 y + 12 = 0.
Общая идея, проявление которой мы увидели на простейших примерах, может быть сформулирована так:
Учет симметрии задачи упрощает задачу.
В таком виде эта идея звучит тривиально, но для превращения этой идеи в формальный и строгий математический инструмент потребовалось затратить немало усилий. Формализация понятия «симметрия» породила теорию групп. А формализация «учета симметрии» — это уже проблема каждой конкретной области, в которой применяется теория симметрий.
---
Подобный взгляд на симметрию распространяется и на более сложные виды математических структур (системы уравнений, дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в частных производных и их системы, вариационные задачи...) и приводит к тому, что симметрия позволяет исследовать математические и физические системы даже в том случае, когда другие методы сами по себе не позволяют ничего сделать. Галуа, впервые посмотревший на симметрии таким образом, изменил всю математику, а некоторые из самых мощных методов теоретической физики являются продолжением и следствием такого взгляда на симметрии. Влияния симметрии оказалось настолько глубоким, что в современном физическом подходе принято формулировать теории, выводя их из симметрий, которым они должны подчиняться.
Если идеалисты правы, и идея — первична, то первичная из идей — симметрия.
я же говорила 😁 и образование можно в чате получить.
симметрия присутствует практически всюду, например, в палиндромах — словах и фразах: шалаш, радар, комок, дед..
Аргентина манит негра
Лёша на полке клопа нашёл 😁
«Симметрия присутствует практически всюду» — если где-то нет симметрии, то просто мы не смогли ее увидеть)
рога у лося не симметричны 🤔
Нужно просто найти правильные криволинейные координаты, в которых они будут симметричны)
вечные поиски 🙃
Улыбок тебе дед Мокар
Есть мнение, что симметрия это красота для тупых. Человеческий мозг во всем ищет простоты, по причине своей лени, он в этом прав,-- ресурс надо экономить, но мир не обязан быть простым и симметричным ради нашего удобства.
Дело не только в красоте. Обнаружение симметрии в задача (в математической, в физической...) позволяет упростить задачу, или выцепить о ее решение что-то, даже не имея способа получить решение. Являеются ли такие способы решения красивыми? Да. Но значит ли это, что вся красота, которая есть, основана на симметрии? Нет.
Красивыми математическими решениями мы называем неожиданно простые. Изящество доказательства теоремы Пифагора даёт эстетическое наслаждение даже таким филологическим девам как я, в то время как громоздкое доказательство теоремы Ферма, смею предположить, не порадовало даже математиков.
Симметрия это один из видов красоты. Снежинки, цветы и бабочки красивы. Но звёздное небо и ваши рога-- тоже💗
Нет, красивыми математическими решениями люди называют не только простые решения. Далеко не только. «Симметрия это один из видов красоты.» — да, вот с этим можно согласиться.
И, кстати, мнение о том, что симметрия — это простота, тоже ошибочно.
Давайте тогда уточним понятия. Простота это удобство для мозга. Симметрия не равна простоте, но она воспринимается мозгом легче, чем ассиметрия.
Это зависит от вида симметрии. В некотором роде хаос оказывается более приятным и понятным чем некоторые симметрии.
Приведите пример, пжлст
Звёздное небо- красивейший пример хаоса
Извините, что влез в столь увлекательную беседу
Кстати, снежинка в иллюстрации к блогу- не симметрична
снежинка это фрактал
Это не исключает её симметрии
конечно, это множество симметрий)
Снежинка — не фрактал. Она не бесконечно самоповторяется)
вот как, а что же тогда фрактал?)
как по мне, Снежинка Фракталовна является естественным природным фракталом. Ей для этого достаточно наличие самоподобия на нескольких уровнях масштабирования без бесконечного самоповторения
👍
тогда это фрактал «с натяжкой»)
Симметричная, наример, зеркально)
Я просила пример симметрии, которая воспринимается мозгом менее понятной, чем хаос)
Звёздное небо или цветущий луг видятся нам красивыми, потому что воспринимаются как общий паттерн, обобщенно, это не хаос, это понятная и приятная гармония
Я понял, что вы просили, но для этого придется вывалить на вас просто формулки. Например, вот этот инфинитизамильный оператор:
X = x y (d/dx) + y^2 z exp(x) (d/dy) — 3 x (z — y) (d /dz)
генерирует какую-то симметрию. Но в данном случае вообще не хотелось бы смотреть на то, как эта симметрия выглядит, и уж тем более как выглядит уравнение, которое симметрично в смысле этой симметрии.
Можно придумать простое уравнене, которое легко и просто само по себе, но там не будет какой-то заметной симметрии, но можно придумать сложное уравнене, симметрия которого будет устроена еще сложнее самого уравнения.
Так что на ваш взгляд делает уравнение или теорему красивыми?
Какой-то общий критерий красивости придумать сложно. Я могу обратиться к этому ощущению в разных проявлениях, но обощить и тем более сказать словами не могу) Симметричность — очень частный случай)
Общий критерий любых красивостей — это гармония. Соразмерность частей, органичность их слияния в целое. Люди просто чувствуют это, понимают, что красиво, а что безобразно. С древности ведутся математические поиски соотношений, пропорций, последовательностей, выражающих гармонию
Так вот я осмелюсь предположить, что красота логического решения в его осроумности, то есть сложность задачи минус затраты на ее решение. Чем эта разница больше, тем красивее оно, решение выглядит. Мат три хода из проигрышной позиции это красиво.
Симметрия это всегда проще, чем хаос, нахождение симметрии это один из способов упростить задачу и этим сделать ее решение красивее.
Нет, это неправда. Иногда производят более сложное решние ради его красоты)
Более сложное, длинное решение может выглядеть красивее, чем более простое и короткое?
Да, это нередко так)
По каким-то непонятным даже вам критериям красоты? Ну это вкусовшина, тут и разговору тупик
Критерии мне частично понятны, но мне тяжело их обощить и выразить. Да и критерии эти меняются в процессе углубления понимания математики)
Может, можно попробовать это сделать, но тут мы скатываемся во-первых во вкусовщину частично, во-вторых в диванную философию, дойдем до культуры и даже биологии… Лучше воспринять это как тупик и забить)
До культуры и даже биологии дойти не приведи господь конечно
пиздец….и тут математика, о нет
И тут? А еще где?)
в школе, в инстике, в жизни
Если в жизни, то хорошо :)
в сущности, наверное, можно всю жизнь разделить на пиздец и математику. 🤔 А вот подлежит ли пиздец математическому анализу?
Да, если этот пиздец фрактальный, квадратный, биквадратный, возвратный, симметричный и т.д.
Пиздец Фракталович – родственник Снежинки Фракталовны, но не такой симметричный
На все вкусы. Вам бы торговать пиздецами в электричке. Разлетались бы как горячие пирожки))
как качаны кукурузы разлетаются на пляже при виде вас, Кофе 😏
😱Представились Дети кукурузы почему-то
сначала кукурузный качан красиво-симметричный найдите, потом о детях можно думать
Там, откуда я родом, детей находят в капусте, а не кукурузе
Полностью провальный бизнес-план. Спрос на этот продукт отрицательный, у всех этого добра и так навалом, любых сортов. Не знают куда и девать, то ли сушить, то ли консервировать
что у вас там ещё имеется среди консервации?
я бы лучше попробовала ваши консервированные эмоции
Таак. У меня тут на радаре быстро приближающийся объект, и кажется заряжают плазменное орудие. Я на некоторое время отключчччччччч _____
Вы просто продавать не умеете. Хотите МК? Давайте я продам вам сейчас пиздец. Сначала надо создать иллюзию проблемы. Вы, я вижу, человек просветлённый и счастливый. Но это замедляет ваш личностный рост. Вам критически не хватает пиздеца в организме. Потом создать иллюзию выбора. Какой пиздец вам больше по душе? Квадратный, фрактальный, биквадратный..? Потом иллюзию эксклюзивности. Вижу, что вам нужно что-то особенное. Возьмите параболический. И добить иллюзией выгоды. На него как раз сейчас последний час скидки в 99%
Завернуть или так понесете?
Вау. Конечно, дайте два параболических
Отличный выбор. За покупку двух вот вам карта лучшего покупателя, можете выбирать любимый пиздец каждую неделю. У вас дети есть? Вот вам три печальки для них в подарок, заходите чаще, соберёте коллекцию
Вы прям бог маркетинга
Не искренне говорите. А жаль
Разработайте математическую теорию пиздеца)
Мотивация нулевая,--- за математику не дают Нобелевскую премию
Мотивация к деятельности только рациональная выгода? Тогда грустно...
Вы про конкретно мою мотивацию в данном случае или про вообще?
3|5|8|13
и космос и наутилус и подсолнушек и само солнышко. Это их идея.
1|1,2|2,3|3 а это идея человека.
Идеи разные.
Про идею человека поясните, пожалуйста!
Все живое не симметрично относительно центра либо центральной оси. Идея симметрии это идея принадлежащая человечеству, люди её придумали и используют. И можно соглашаться или не соглашаться но симметрия в человеческом материальном мире — придворна и рассчитана на восприятие простого населения. Математики конечно не просты, но и симметрия их не визуальная.
Вот это поворот. А я считала себя более-менее симметричной… по крайней мере снаружи
Одна сторона лица всегда с полуулыбкой, другая печалится) это известный фокус — если фото отразить половинками — будет 2 разных человека.
Но если пренебречь этими погрешностями, все животные, включая человека, в целом внешне симметричны
Каждому свое. Пренебрегайте) я не буду)) да и математики получат двойку в школе пренебрегая.
И тогда что есть не погрешность? Сколько знаков после запятой.
А я не буду пренебрегать в сообщениях запятыми и здравым смыслом. У всякого свой объект пренебрежения.)